La loi arc sinus : définition, propriétés et applications en probabilités

En théorie des probabilités, la loi arc sinus est une loi de probabilité à densité qui joue un rôle central dans l’étude des marches aléatoires et du mouvement brownien.

Elle est particulièrement intéressante pour modéliser le comportement de certains processus aléatoires. Cette loi est un cas particulier de la loi bêta et se caractérise par une distribution spécifique sur un intervalle borné.

Dans cet article, nous explorerons les caractéristiques de cette loi, son lien avec d’autres distributions, et ses principales applications en probabilités.

Définition et propriétés de la loi arc sinus

La loi arc sinus est définie sur l’intervalle [0, 1]. La fonction de répartition de cette loi, notée F(x), est donnée par l’expression suivante :

$F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin(\sqrt{x})$

Relation avec la loi bêta

La loi arc sinus est un cas particulier de la loi bêta avec les paramètres α = 1/2 et β = 1/2.

Cela signifie qu’une variable aléatoire X qui suit la loi arc sinus peut aussi être décrite par une loi bêta avec ces mêmes paramètres. Plus précisément :

$X \sim Beta(1/2, 1/2)$

Cela montre que la loi arc sinus appartient à une famille plus large de distributions de probabilité, ce qui la rend utile dans de nombreux contextes statistiques et probabilistes.

Caractéristiques principales

Les principales caractéristiques de la loi arc sinus sont les suivantes :

• Espérance : 1/2
• Médiane : 1/2
• Variance : 1/8
• Asymétrie : 0
• Kurtosis : -3/2

Ces caractéristiques soulignent la symétrie de la distribution et son aplatissement par rapport à la loi normale.

La variance relativement faible montre également que la distribution est concentrée autour de sa moyenne.

Généralisation de la loi arc sinus

La loi arc sinus peut être généralisée à tout intervalle borné [a, b]. Dans ce cas, la fonction de répartition devient :

$F(x) = \frac{2}{\pi} \arcsin \left(\sqrt{\frac{x – a}{b – a}}\right)$

Tableau simplifié de la loi arc sinus

Applications de la loi arc sinus

La loi arc sinus intervient dans plusieurs domaines des mathématiques appliquées, en particulier dans les marches aléatoires et le mouvement brownien.

Une application notable est liée à la marche aléatoire sur l’axe des réels, où l’on étudie la probabilité qu’une marche revienne à un point donné (souvent l’origine).

La loi arc sinus peut aussi décrire le comportement de la position la plus probable à un instant donné dans un processus stochastique.

Marche aléatoire et dernier retour à l’origine

Un exemple typique de l’utilisation de la loi arc sinus concerne la marche aléatoire d’une pièce de monnaie.

Imaginons une pièce lancée plusieurs fois : à chaque pile, le marcheur se déplace d’une unité vers la droite, et à chaque face, il se déplace d’une unité vers la gauche.

Si l’on observe le dernier instant où la marche atteint l’origine sur une période donnée, la loi arc sinus permet de modéliser la probabilité associée à ce dernier retour.

Plus précisément, on considère une marche aléatoire (Sn) définie par la somme des déplacements après n lancers de la pièce.

Si l’on s’intéresse au dernier instant où la marche atteint zéro, noté Tn, alors la variable Tn/2n suit asymptotiquement une loi arc sinus.

Relation avec d’autres lois

La loi arc sinus est également en relation avec plusieurs autres lois de probabilité.

Par exemple, si U et V sont des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées sur l’intervalle [-π, π], alors les fonctions trigonométriques de U et V, comme sin(U), cos(2U), sin(U+V), et sin(U−V), suivent toutes une loi arc sinus.

De plus, si une variable X suit une loi arc sinus généralisée sur l’intervalle [a, b], alors la variable transformée ($X-a)/(b-a)$ suit une loi bêta.

Conclusion

La loi arc sinus est une loi de probabilité fascinante, avec de nombreuses applications dans les processus stochastiques comme les marches aléatoires et le mouvement brownien.

Elle est également intimement liée à la loi bêta, offrant ainsi une grande flexibilité pour modéliser des phénomènes aléatoires sur des intervalles bornés.

Que ce soit pour analyser des retours à l’origine dans des marches aléatoires ou pour étudier des processus de diffusion, la loi arc sinus offre un cadre théorique riche et polyvalent.