Pourquoi on attend (toujours) plus longtemps le bus qu’on ne devrait ? Le paradoxe de l’attente

Vous arrivez à l’arrêt de bus, sans regarder l’heure. On vous dit que les bus passent toutes les 4 minutes. Instinctivement, vous vous dites : « Bon, j’attendrai en moyenne 2 minutes. » Et vous avez raison… dans un monde parfait.

Mais dans le monde réel, les choses ne se passent pas comme ça. Et ce que vous ressentez — cette impression que le bus « devrait déjà être là » — n’est pas une illusion. C’est même un phénomène bien connu en mathématiques : le paradoxe de l’attente.

Ce que dit la théorie (idéale)

Imaginons un système parfait où les bus passent pile toutes les 4 minutes, comme une horloge suisse. Si vous arrivez au hasard à l’arrêt, l’attente moyenne est bien de 2 minutes. C’est la moitié de l’intervalle entre deux passages, logique.

Mais cette situation est purement théorique. Dans la vraie vie, les bus n’ont pas lu leur propre horaire.

Ce que dit la réalité (chaotique)

Dans la vidéo « Pourquoi on attend (plus longtemps) le bus ? », le Professeur Fabrizio Bucella illustre brillamment ce paradoxe :

« À la moyenne, les bus arrivent toutes les quatre minutes à l’arrêt, mais dans la pratique, il y a des bus qui sont très rapprochés, des bus qui sont plus éloignés. […] Quand vous arrivez au hasard à l’arrêt de bus, il y a plus de chances que vous tombiez au hasard sur un intervalle de temps long que sur un intervalle de temps court. »

C’est là tout le cœur du paradoxe de l’attente (aussi appelé paradoxe de l’inspection). Ce que vous ressentez — l’impression d’attendre plus que prévu — n’est pas une erreur de perception, mais un biais statistique.

Pourquoi ce paradoxe existe-t-il ?

C’est une question de probabilité. Plus un intervalle est long, plus il a de chances d’être « attrapé » par quelqu’un qui arrive au hasard. En d’autres termes :

• Un intervalle de 1 minute n’occupe que 1 minute de la journée.
• Un intervalle de 8 minutes occupe huit fois plus de temps.
• Vous avez donc 8 fois plus de chances d’arriver pendant le second.

Vous êtes plus souvent coincé dans les grands trous que dans les petits.

Et plus les horaires sont irréguliers, plus ce biais s’amplifie. La moyenne entre deux bus reste bien de 4 minutes, mais votre attente moyenne, elle, explose.

Une analogie simple : les vagues

Imaginez que vous êtes dans la mer. Les vagues sont irrégulières. Si vous plongez au hasard, vous avez plus de chances de tomber entre deux grosses vagues espacées qu’entre deux petites, proches.

Ce n’est pas parce que les grosses vagues sont méchantes. C’est juste qu’elles laissent plus de vide.

Une conséquence concrète pour les transports

Ce paradoxe a des implications très concrètes : Ce n’est pas seulement la fréquence des bus qui compte, mais leur régularité.

Des bus très fréquents mais totalement désynchronisés peuvent créer des trous de 10 minutes… suivis de 3 bus à la suite.

Résultat : le sentiment d’attente injuste, les rames bondées, l’angoisse du retard. Et tout ça, alors que « statistiquement », tout va bien.

En résumé

• Si les bus étaient parfaitement espacés, l’attente moyenne serait bien la moitié de l’intervalle.
• Mais avec des horaires irréguliers, vous tombez plus souvent dans les intervalles longs.
• Ce phénomène est bien connu en probabilités et s’appelle le paradoxe de l’attente.
• Il ne vient pas de votre malchance : c’est une propriété mathématique.

Un mot sur la théorie

Le paradoxe de l’attente est un cas particulier du paradoxe de l’inspection en théorie des files d’attente. Il est lié à un phénomène appelé biais de taille d’intervalle. On le retrouve aussi en télécommunications, en biologie, ou même en sociologie.

La prochaine fois que vous râlez contre la RATP, dites-vous que ce n’est pas (que) leur faute. C’est aussi celle des mathématiques.