Le formalisme de Jones : une clé pour comprendre la polarisation de la lumière

Le formalisme de Jones est essentiel en optique pour décrire l’état de polarisation de la lumière et son évolution dans un système optique.

Introduit par Robert C. Jones en 1941, ce formalisme utilise des vecteurs et des matrices pour représenter la lumière polarisée et les éléments optiques linéaires respectivement.

Fondements du formalisme de Jones

Dans le formalisme de Jones, une onde électromagnétique plane, monochromatique et complètement polarisée est décrite par un vecteur complexe. Ce vecteur, appelé vecteur de Jones, est défini par :

$\left(\begin{array}{c}{E}_x(t)\\ E_y(t)\end{array}\right)=E^{(0)}\exp [i(-\omega t+{\varphi }_x)]\left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\end{array}\right)$

Ici, Ex​(t) et Ey​(t) représentent les composantes du champ électrique selon les axes x et y. Les paramètres clés sont la différence de phase ϕy​−ϕx​ et le rapport :

$\frac{E_x(0)}{E_y(0)}$

Vecteurs de Jones normés

Pour simplifier, on choisit souvent un point de référence pour l’intensité et la phase, ce qui donne :

$\left(\begin{array}{c}{E}_x(t)\\ E_y(t)\end{array}\right)=E^{(0)}\exp [i(-\omega t+{\varphi }_x)]\left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\end{array}\right)$

Le vecteur de Jones est alors :

$V=\left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\end{array}\right)$

où Vx​ est réel et le vecteur V est normé à 1 au point de référence.

Exemples de vecteurs de Jones

• Polarisation rectiligne selon l’axe x :
  $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ 
• Polarisation rectiligne selon l’axe y :
  $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ 
• Polarisation à 45° par rapport à l’axe x :
  $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ 
• Polarisation circulaire droite :
  $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)$ 
• Polarisation circulaire gauche :
  $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)$ 

Matrices de Jones

Les éléments optiques linéaires sont représentés par des matrices de Jones. Voici quelques exemples :

• Polariseur horizontal :
  $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 
• Polariseur vertical :
  $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 
• Polariseur à 45° :
  $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 
• Polariseur circulaire droit :
  $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& i\\ -i& 1\end{array}\right)$ 
• Polariseur circulaire gauche :
  $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -i\\ i& 1\end{array}\right)$ 

Transformation des matrices de Jones

Quand un système optique est tourné autour de l’axe optique d’un angle θ, la matrice de Jones du système tourné M(θ) est obtenue par la transformation :

$M(\theta )=R(\theta )MR(-\theta )$

où R(θ) est une matrice de rotation définie par :

$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

Comparaison avec la mécanique quantique

Formellement, le vecteur de Jones est similaire au vecteur d’état en mécanique quantique, utilisé pour décrire un système à deux niveaux.

Cette analogie découle du fait que le photon possède deux états d’hélicité, représentant un système à deux niveaux.

Les notations bra-ket couramment utilisées en optique quantique pour décrire la polarisation de la lumière sont ainsi justifiées.

Applications pratiques du formalisme de Jones

Le formalisme de Jones est crucial pour comprendre et concevoir des systèmes optiques impliquant la polarisation.

Par exemple, les polariseurs, les lames demi-onde, et les lames quart d’onde sont des éléments optiques courants qui modifient l’état de polarisation de la lumière.

Polariseurs

Les polariseurs sélectionnent la composante du champ électrique selon une direction spécifique.

Un polariseur horizontal laissera passer uniquement la composante Ex​, tandis qu’un polariseur vertical ne laissera passer que Ey​.

Lames demi-onde

Une lame demi-onde avec l’axe rapide horizontal introduit une différence de phase de 180° (ou π radians) entre les composantes Ex​ et Ey​. La matrice de Jones pour une telle lame est :

$\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$

Lames quart d’onde

Une lame quart d’onde introduit une différence de phase de 90° (ou π/2 radians). La matrice de Jones pour une lame quart d’onde avec l’axe rapide horizontal est :

$e^{-i\pi \mathrm{/}4}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right)$

Limitations du formalisme de Jones

Le formalisme de Jones est limité aux ondes complètement polarisées. Pour la lumière incohérente ou partiellement polarisée, on utilise les vecteurs de Stokes et les matrices de Mueller.

Les vecteurs de Stokes fournissent une description complète de l’état de polarisation, y compris les composantes non polarisées.

Paramètres de Stokes et matrices de Mueller

Les paramètres de Stokes sont quatre grandeurs mesurables qui décrivent l’état de polarisation de la lumière.

Ils sont souvent utilisés avec les matrices de Mueller pour analyser des systèmes impliquant la polarisation partielle.

Conclusion

Le formalisme de Jones offre un cadre mathématique élégant pour analyser la polarisation de la lumière. En représentant la lumière polarisée par des vecteurs de Jones et les éléments optiques par des matrices de Jones, ce formalisme permet de prédire comment la polarisation de la lumière évolue à travers divers systèmes optiques.

Ce formalisme est particulièrement utile dans des domaines tels que l’optique quantique, la télécommunication par fibres optiques, et les expériences d’interférence.

Bien que limité aux ondes complètement polarisées, le formalisme de Jones reste un outil essentiel pour les scientifiques et les ingénieurs travaillant avec la lumière polarisée. E

n comprenant et en appliquant ce formalisme, on peut concevoir et analyser des systèmes optiques avec une précision remarquable.

En résumé, le formalisme de Jones est un pilier de l’optique moderne. Sa capacité à décrire l’état de polarisation et son évolution dans des systèmes optiques le rend indispensable pour de nombreuses applications technologiques et scientifiques.

Les concepts de vecteurs de Jones, matrices de Jones, et transformations associées offrent une base solide pour explorer et manipuler la polarisation de la lumière avec efficacité et précision.