L’Invariant de Lagrange-Helmholtz en Optique Géométrique

L’invariant de Lagrange-Helmholtz est une loi fondamentale en optique géométrique. Il relie les paramètres de l’objet et de son image. Cette relation est valable sous les conditions de Gauss.

Cet invariant permet de décrire le comportement des systèmes optiques. Il est crucial pour la conception et l’analyse des lentilles et des systèmes de dioptres. En outre, il aide à comprendre la formation des images.

Les conditions de Gauss s’appliquent lorsque les rayons lumineux sont proches de l’axe optique. Dans ce cas, les angles peuvent être approximés par leurs sinus. Cette approximation simplifie les calculs en optique géométrique.

Définition de l’Invariant de Lagrange-Helmholtz

Formulation mathématique de l’invariant

L’invariant de Lagrange-Helmholtz se formule comme suit :

$ny\alpha =n^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}{\alpha }^{\mathrm{\prime }}$

où :

• n et n′ sont les indices de réfraction des milieux objet et image.
• y et y′ sont les hauteurs de l’objet et de l’image.
• α et α′ sont les angles des rayons incident et émergent.

Description des termes et paramètres

• Indice de réfraction (n et n′) : mesure de la vitesse de la lumière dans un milieu.
• Hauteur (y et y′) : distance perpendiculaire à l’axe optique.
• Angle (α et α′) : angle formé par le rayon lumineux avec l’axe optique.

Application de l’Invariant de Lagrange-Helmholtz

Cas d’un Dioptre Unique

Pour un dioptre unique, l’invariant de Lagrange-Helmholtz s’applique directement. Cette relation relie les paramètres de l’objet à ceux de l’image formée.

Interprétation de la Relation

La relation montre que le produit de l’indice de réfraction, de la hauteur et de l’angle reste constant. Cela signifie que les variations de ces paramètres se compensent mutuellement.

Signification Pratique

Cette compensation est essentielle en optique. Elle garantit la formation d’images claires et précises. En utilisant cette relation, les concepteurs peuvent prédire le comportement des systèmes optiques.

Exemple de Calcul

Prenons un objet de hauteur y dans un milieu avec un indice de réfraction n. Le rayon incident forme un angle α avec l’axe optique.

Après passage à travers un dioptre, l’image formée a une hauteur y′ et se trouve dans un milieu avec un indice de réfraction n′. Le rayon émergent forme un angle α′.

En appliquant l’invariant de Lagrange-Helmholtz :

$ny\alpha =n^{\mathrm{\prime }}{y}^{\mathrm{\prime }}{\alpha }^{\mathrm{\prime }}$

On peut résoudre cette équation pour trouver l’un des paramètres manquants, à condition de connaître les autres.

Extension aux Systèmes Optiques Complexes

Un système optique complexe peut être composé de plusieurs dioptres. Chaque dioptre modifie les rayons lumineux successivement.

Chaque dioptre crée une image intermédiaire qui devient l’objet pour le dioptre suivant. Ainsi, l’image finale est formée après plusieurs étapes.

Pour chaque dioptre, l’invariant de Lagrange-Helmholtz s’applique. En combinant ces relations, on obtient une relation étendue qui relie l’objet initial à l’image finale.

Condition des Sinus d’Abbe

La condition des sinus d’Abbe utilise l’approximation des angles faibles. On peut remplacer les angles par leurs sinus, simplifiant ainsi les calculs.

Cette approximation est utile pour les systèmes optiques travaillant sous les conditions de Gauss. Elle permet de simplifier les formules et de faciliter les calculs.

Étude de Cas : Exemple de Calcul

Considérons un système optique composé de trois dioptres. Chaque dioptre modifie les rayons lumineux, formant des images intermédiaires.

En appliquant la relation de Lagrange-Helmholtz à chaque dioptre, on peut calculer les paramètres de l’image finale. Cela inclut la hauteur et l’angle de l’image.

Conclusion

L’invariant de Lagrange-Helmholtz est crucial en optique géométrique. Il relie les paramètres de l’objet et de l’image dans les systèmes optiques.

Cet invariant aide à concevoir des lentilles et des systèmes optiques efficaces. Il garantit que les variations des paramètres se compensent.

L’invariant de Lagrange-Helmholtz continuera à être utile dans les avancées en optique. Il pourra être appliqué à de nouveaux systèmes et technologies optiques.

Références

• Page wikipédia : L’invariant de Lagrange-Helmholtz
• Optique pour l’ingénieur