La Loi de Lambert : Comprendre la Luminosité et l’Intensité Lumineuse

La loi de Lambert, fondamentale en optique, explique comment la lumière se répartit et se propage à partir d’une source lumineuse.

Cette loi est essentielle pour les ingénieurs, les physiciens et toute personne travaillant avec la lumière. Elle décrit deux relations clés : l’exitance proportionnelle à la luminance et l’intensité lumineuse en fonction de l’angle.

Explorons en détail cette loi avec des démonstrations claires et des exemples concrets.

Qu’est-ce que la Loi de Lambert ?

La loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l’exitance M est proportionnelle à la luminance L. Le coefficient de proportionnalité est π. Mathématiquement, cela se traduit par :

$M=\pi \cdot L$

Cette relation est importante pour comprendre comment la lumière se distribue dans l’espace à partir d’une source uniforme.

Relation entre Exitance et Luminance

L’exitance est l’énergie lumineuse émise par une surface par unité de surface et par unité de temps. Elle est définie par l’intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians).

La luminance L est identique dans toutes les directions pour une source orthotrope. La relation est la suivante :

$M={\int }_{2\pi }L\cos \theta d\mathrm{\Omega }$

Avec :

$d\mathrm{\Omega }=\frac{dS}{r^2}=\sin \theta d\theta d\varphi$

Pour une source orthotrope, cette intégrale se simplifie. On intègre d’abord sur l’azimut ϕ de 0 à  2π, puis sur l’angle zénithal θ de 0 à π/2​ :

$M=L{\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cos \theta d\theta$

En intégrant ces termes, nous obtenons :

$M=2\pi L{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cos \theta d\theta$

Changement de Variable et Intégration

Pour simplifier l’intégrale, nous utilisons le changement de variable  μ=sinθ.  Ainsi :

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \theta \cos \theta d\theta ={\int }_0^1\mu d\mu$

En intégrant μ de 0 à 1, nous obtenons :

${\int }_0^1\mu d\mu =\frac{1}{2}$

En substituant cette valeur dans l’intégrale de l’exitance, nous arrivons à la relation :

$M=2\pi L\cdot \frac{1}{2}=\pi L$

Cette démonstration confirme que l’exitance M est bien proportionnelle à la luminance L, avec ππ comme coefficient.

Intensité Lumineuse et Angle

La deuxième relation importante de la loi de Lambert concerne l’intensité lumineuse I en fonction de l’angle θ.

Pour une source orthotrope, l’intensité lumineuse dans une direction donnée est proportionnelle au cosinus de l’angle entre cette direction et la normale à la surface. Mathématiquement, cela s’exprime par :

$I(\theta )=I(0)\cos \theta$

Où I(0) est l’intensité lumineuse dans l’axe normal à la surface.

Cette relation, également appelée la loi en cosinus de Lambert, explique pourquoi l’intensité lumineuse diminue avec l’angle.

Plus l’angle θ augmente, plus le cosinus de cet angle diminue, réduisant ainsi l’intensité lumineuse perçue.

Applications Pratiques de la Loi de Lambert

La loi de Lambert a de nombreuses applications pratiques. En photographie, elle aide à comprendre l’éclairage et l’exposition.

Les ingénieurs d’éclairage utilisent cette loi pour concevoir des systèmes d’éclairage efficaces, en tenant compte de la manière dont la lumière se distribue et diminue avec l’angle.

En astronomie, cette loi aide à modéliser l’émission de lumière des étoiles et autres objets célestes.

Quelle est la différence entre la Loi Lambert et la Loi Beer-Lambert ?

La différence entre la loi de Lambert et la loi de Beer-Lambert réside dans leurs domaines d’application et les phénomènes qu’elles décrivent.

Celle de Lambert concerne la distribution de la lumière émise par une surface diffusante en fonction de l’angle d’observation.

En revanche, la loi de Beer-Lambert se focalise sur l’absorption de la lumière lorsqu’elle traverse une substance. Cette dernière permet de relier l’absorbance d’une solution à la concentration du soluté et à la longueur du chemin optique.

En résumé, la loi Lambert traite de la propagation et diffusion de la lumière, tandis que la loi de Beer-Lambert se concentre sur l’absorption de la lumière par des solutions.

Conclusion

La loi de Lambert est essentielle pour comprendre comment la lumière se comporte et se propage. Elle décrit la relation entre l’exitance et la luminance, ainsi que l’intensité lumineuse en fonction de l’angle.

Ces concepts sont fondamentaux pour de nombreuses disciplines, de la photographie à l’astronomie. Comprendre et appliquer cette loi permet de mieux maîtriser l’éclairage et la distribution de la lumière dans divers contextes.

En résumé, la loi de Lambert simplifie la complexité de la lumière en offrant des relations claires et directes, importantes pour toute application nécessitant une compréhension précise de la propagation lumineuse.

Source de l’article : Wikepedia